Einstein Relatively Easy

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       Une autre conséquence importante du principe de l'invariance de la vitesse de la lumière est celle de la dilatation des durées. Ce concept peut s'énoncer de la manière suivante:

Toute horloge en  mouvement à la vitesse v<c par rapport à un référentiel inertiel R semble, dans ce référentiel, évoluer au ralenti, à un rythme γ-fois plus lent.

γ étant défini comme le facteur de Lorentz et valant 1/√(1-β2) avec β=v/c

 

Pour mettre en évidence cet effet, nous allons considérer une "horloge lumière", où une impulsion lumineuse effectue des va-et-vient entre deux miroirs parallèles distants d'une longueur L.

 

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       Une autre conséquence importante du principe de l'invariance de la vitesse de la lumière est celle de la dilatation des durées. Ce concept peut s'énoncer de la manière suivante:

Toute horloge en  mouvement à la vitesse v<c par rapport à un référentiel inertiel R semble, dans ce référentiel, évoluer au ralenti, à un rythme γ-fois plus lent.

γ étant défini comme le facteur de Lorentz et valant 1/√(1-β2) avec β=v/c

 

Pour mettre en évidence cet effet, nous allons considérer une "horloge lumière", où une impulsion lumineuse effectue des va-et-vient entre deux miroirs parallèles distants d'une longueur L.

 

Référentiel au repos

Horloge lumière dans un référentiel au repos
Référentiel au repos

Par une expérience de pensée, embarquons cette horloge dans un vaisseau en mouvement rectiligne
uniforme de vitesse v par rapport à la Terre. Supposons en plus que la
vitesse soit perpendiculaire au tube de l'horloge.

Dans ce référentiel, soit pour un astronaute situé dans le vaisseau, la lumière se déplace verticalement, de bas en haut et de haut en bas. Mesurons à présent l'intervalle  de  temps  entre  les  événements  "le  signal  part  du
miroir inférieur" et "le signal est reçu par le miroir inférieur".

Cette durée peut être facilement calculée comme le rapport T entre deux fois la distance entre les miroirs, soit 2xL divisée par la vitesse de la lumière (supposée ici être celle de la lumière dans le vide).

Assumons par exemple que les miroirs soient séparés d'une distance d'un mètre, alors il faudra à la lumière 6.67 nanosecondes pour faire une aller-retour entre les deux miroirs, ce qui en fait une horloge de très haute précision (150 millions tics par seconde).

 

Référentiel en mouvement

Qu'observons-nous sur Terre?

Pour nous, c'est-à-dire pour un observateur immobile sur la Terre[1], l'horloge est en mouvement uniforme de vitesse v et le signal parcourt une distance plus longue. D'après le second postulat, la vitesse du signal lumineux est pour nous également  c.  Il  met  donc  un temps  T'>T  pour  parcourir  la  distance  D>L  entre  les deux miroirs.

Dilatation des durées
                                Horloge lumière dans un référentiel en mouvement

 

La durée  Δt' mise par la lumière pour faire un aller-retour est donc désormais:

Dilatation des durées

En utilisant le théorème de Pythagore pour le triangle vert, la longueur de la base représentant la moitié de la distance parcourue par le vaisseau pendant la durée Δt'

 

Dilatation des durées

En se rappellant que la durée mis par la lumière dans le référentiel du vaisseau pour faire un aller-retour est de:

Dilatation des durées

Alors le rapport entre les deux durées nous indique de quel facteur le temps observé par l'observateur dans le référentiel terrestre se trouve modifié par celui mesuré par l'astronaute dans son propre référentiel:

 

Dilatation des durées 

Si l'on nomme β le rapport entre la vitesse relative des deux référentiels et la vitesse de la lumière

Dilatation des durées 

Le rapport des durées peut se réécrire sous la forme courante suivante:

 

Dilatation des durées

La quantité à droite de l'équation représente une quantité très fréquemment rencontrée en relativité restreinte: il s'agit du facteur de Lorentz que l'on représente par la lettre grecque gamma, notée γ

 

 

On constate que puisque la vitesse relative v des deux référentiels doit être inférieure à la vitesse limite c, on a γ>1 et donc dans le référentiel terrestre, où on a disposé deux horloges séparées dans l'espace, l'intervalle de temps Δt' est supérieur à celui Δt enregistré dans le référentiel de l'astronaute, à l'aide d'une seule horloge. En termes simples, l'horloge en mouvement, ici celle de l'astronaute dans son vaisseau spatial, retarde par rapport à celle de l'observateur fixe sur Terre.

Si nous appelons intervalle de temps propre la  durée entre deux événements se produisant au même lieu de l’espace, cet intervalle étant mesuré par une seule horloge se trouvant à l’endroit où les événements se produisent et intervalle de temps impropre la durée entre deux événements se produisant en des lieux différents, cet intervalle ne pouvant être mesuré que par deux horloges se trouvant aux deux endroits où les événements se produisent, le principe de dilatation des durées peut s'énoncer de la façon générale suivante:

Deux horloges A et B séparées dans l'espace, enregistrent entre deux événements un intervalle de temps (impropre) plus grand que l'intervalle (propre) enregistré par une seule horloge se déplaçant de A vers B, et qui est présente aux deux événements.

 

                                        

 

Remarque 1: Si dans l’expérience de pensée  précédente, l’astronaute examine notre "horloge  à lumière" (en mouvement pour lui), il doit aboutir à la même conclusion, c'est-à-dire que notre horloge en mouvement marche plus lentement que la sienne au repos. Les effets de dilatation de temps sont parfaitement symétriques par rapport à chaque référentiel inertiel.

Remarque 2: Nous avons pris l'exemple d'une horloge à lumière pour mettre en évidence le phénomène de dilatation de temps, mais il faut se convaincre que l'ensemble des phénomènes temporels, gestes  quotidiens, mouvements mécaniques de  machines, battements du cœur et autres phénomènes physiologiques, etc., tout se déroule au ralenti. De même pour l’astronaute observant l’observateur terrestre.

Remarque 3: Pour les faibles vitesses (inférieures à 10% de la vitesse de la lumière), il n'y a pratiquement pas de différence entre les indications des horloges en mouvement et de celles au repos. En revanche, pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, le temps doit être considéré comme une grandeur relative, dépendant de l'observateur qui le mesure.

Ci-dessous quelques exemples chiffrés:

 

 

 

[1] En toute rigueur, l'expérience du pendule de Foucault a montré que la Terre n'est pas un référentiel inertiel, elle est elle-même en rotation par rapport à un référentiel inertiel. Cf Inertial Frame of Reference

 

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Citations

"Pas plus de cinq ou six semaines s'écoulèrent entre la conception de l'idée de la relativité restreinte et la rédaction de l'article correspondant."
Einstein à Carl Seelig, 11 Mars 1952

"N'importe quel étudiant dans les rues de Göttigen en connaît plus qu'Einstein sur les géométries à 4 dimensions. Et pourtant ce fut Einstein qui accomplit le travail, et non les mathématiciens."
David Hilbert

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