Einstein Relatively Easy

Contraction des longueurs par les diagrammes d'espace-temps

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Catégorie : Relativité Restreinte

Création : 18 janvier 2020

Mis à jour : 18 janvier 2020

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      Dans le même esprit que dans l'article précédent Dilatation des durées par les diagrammes d'espace-temps où nous nous étions attachés à illustrer la dilatation des durées par un diagramme d'espace-temps, nous allons faire la même chose ici mais pour rendre compte de l'autre phénomène bien connu de la relativité qu'est la contraction des longueurs dans la direction du mouvement.

Considérons le diagramme d'espace-temps ci-dessous:

Une hyperbole d'espace-temps invariant passe par les points D (x'=1 et ct'=0) et C (x=1 et ct=0). La igne verticale en pointillés joignant les événements B et C est la ligne qui a une valeur constante de x=1 pour l'observateur O du référentiel S. La ligne oblique DA (tangente à l'hyperbole en D et parallèle à l'axe ct') est quant à elle la ligne joignant tous les événements ayant une abscisse x'=1 pour l'observateur O' dans le référentiel S'.

Qu'observent donc les deux observateurs dans leur référentiel respectif?

     - l'observateur O' mesure la distance OD d'abscisse x'=1 sur son axe x'. Le point A a par définition la méme abscisse x'=1 pour O' parce que cet événement est situé sur la ligne AD de coordonnées x'=1. En revanche pour l'observateur A, la distance OA < 1 sur son axe Ox. Du point de vue de O, la distance OD = 1 s'est contractée vers OA <1. La flèche noire LC sur l'axe des abscisses Ox représente la contraction des longeurs observée par O.

    - l'observateur O mesure la distance OC de longueur x=1 le long de son axe Ox. Le point B a par définition la même abscisse puisqu'il est situé sur la ligne verticale CB d'abscisse x=1. Du point de vue de l'observateur O' en revanche, la distance OB sur son axe x' <1 (puisqu'OD =1). Du point de vue de O', la distance OC a donc subi une contraction vers OB < 1. La flèche noire LC sur l'axe x' représente la contraction des longueurs mesurée par O'.

Chacun des observateurs mesure donc un rétrécissement des objects dans la direction de leur mouvement, un phénomène connu comme la contraction des longeurs ou contraction de Lorentz.

Dilatation des durées par les diagrammes d'espace-temps

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Catégorie : Relativité Restreinte

Création : 17 janvier 2020

Mis à jour : 22 janvier 2020

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Nous avons déjà présenté la dilatation des durées dans notre article Introduction à la dilatation des durées et au facteur de Lorentz

Dans cet article, nous nous proposons de revenir sur ce phénomène de dilatation du temps mais à l'aide cette fois-ci d'un diagramme d'espace-temps, un peu comme nous l'avions fait pour présenter la fin de la simultanéité dans La fin de la simultanéité par les diagrammes d'espace-temps.

On se rappelle tout d'abord d'après l'article Quadri-vecteur et intervalle d'espace-temps que l'équation d'intervalle d'esapace-temps est de la forme suivante

soit encore en développant        

En se limitant aux dimensions temps et abscisse (ct et x), on reconnaît immédiatement l'équation de deux hyperboles de la forme:

c²t² - x² = b² (intervalle de genre temps avec ds² > 0)

c²t² - x² = -a² (intervalle de genre espace avec ds² < 0)

Chaque hyperbole relie ainsi tous les événements qui ont un intervalle d'espace-temps égal par rapport à un événement situé l'origine. Les deux hyperboles passant par les points x=a et x=-a relient tous les points d'intervalle espace-temps égal à -a² et les deux hyperboles passant par les points x=b et x=-b relient entre eux tous les points d'intervalle espace-temps b².

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