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Palatini equation
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This article looks at the process of deriving the so called Palatini equation and follows the demonstration found in D'Inverno Introducing Einstein's relativity , Chapter 11-1 (General Relativity from a variational principle, The Palatini equation).
Many tensor identities are derived most easily using the technique of geodesic coordinates in a Local Inertial Frame, where we choose an arbitrary point P at which the Christoffel symbols nullify, which in D'Inverno notation could be written as:
As we know from our article Riemann curvature tensor part III: Symmetries and independant components in this particular case, the Riemann tensor reduces to:
Looking now at a variation of the connection Γabc to a new connection Γabc(hat):
Then δΓ being the difference of two connections, is a tensor of type (1,2), and this variation results in a change in the Riemann tensor between two coordinate systems as:
since partial deerivatives commute with variation and is equivalent to covariant derivative in geodesic coordinates.
Bienvenue sur Einstein Relatively Easy!
devant la maison de Ben Meyer à
Santa Barbara le 18 février 1933
Ce site web est destiné au lecteur généraliste désireux de découvrir les théories de la relativité restreinte et de la relativité générale élaborées par Einstein, et d'en aborder les concepts mathématiques sous-jacents.
La relativité einsteinienne est trop séduisante pour ne pas être introduite au non-spécialiste!
Bonne lecture!
"Je n'ai pas de dons particuliers
Je suis simplement passionément curieux"
Albert Einstein
Transformation de Lorentz IV - Dérivation d'Einstein
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- Catégorie : Relativité Restreinte
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Dans cet article, nous allons montrer qu'il est possible de déduire très simplement les équations de Lorentz à partir du principe de relativité et de la constance de la vitesse de la lumière dans le vide.
Nous reproduisons ici de façon un peu plus détaillée le raisonnement tel que présenté par Einstein dans son ouvrage La relativité, dans l'appendice 1[1].
Soit deux référentiels inertiels R et R' en configuration standard, en translation uniforme le long des axes des abscisses. Limitons-nous dans un premier temps à des évènements localisés sur l'axe des x. Un tel évènement est représenté, relativement à R, par l'abscisse x et le temps t, et relativement au référentiel R' par l'abscisse x' et le temps t'. Notre problème consiste donc à trouver x' et t' quand x et t sont donnés.
1. Application du postulat de la constance de la vitesse de la lumière dans tout référentiel
Un rayon lumineux qui avance le long de l'axe positif des x se propage d'après l'équation x= ct soit encore x - ct =0. Mais puisque le même rayon lumineux se propage relativement à R' avec la même vitesse c, l'équation de sa propagation dans R' sera x' - ct' =0. L'annulation de la quantité x - ct entraînant celle de x' - ct' , on doit avoir une relation du type
x' - ct' = λ (x - ct) (1)
Un raisonnement analogue appliqué à des rayons lumineux se propageant dans la direction des x négatifs entraîne la condition
x' + ct' = μ (x + ct) (2)
Vitesse de la lumière
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- Catégorie : Dictionnaire
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Les Anciens pensaient que la vitesse de la lumière était infinie, et rien n'était susceptible de les détromper.
Galilée le premier, en 1632, émet la vitesse que cette vitesse pourrait être finie[1]. Depuis Galilée, des mesures de plus en plus précises ont été effectuées. En 1983, cependant, le point de vue a changé: au lieu de définir précisément le mètre et la seconde et de mesurer la vitesse de la lumière en utilisant ces définitions, la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide est désormais fixée par convention, et ce conformément au second postulat de la relativité restreinte, qui en fait une valeur absolument fixe, universelle et indépendante de l'observateur. Elle vaut, par définition, c = 299.792.458 m.s-1[2].
Cette donnée, ajoutée à la définition actuelle de la seconde, sert à définir le mètre[3].
Remarque 1: Bien que cela ait joué un rôle historique important, il est fondamental de souligner que l'émission d'une hypothèse concernant l'existence d'une vitesse limite (définie par rapport à la lumière mais étrangement liée à toutes les forces) n'est pas nécessaire. Au contraire, comme on le montre dans l'article Transformation de Lorentz V - Dérivation moderne cette vitesse-limite (ainsi que son invariance par changement de référentiel d'inertie) apparaît comme une conséquence de certaines hypothèses sur les lois physiques que sont l'homogénéité du temps, l'homogénéité de l'espace et l'isotropie de l'espace, ainsi que du principe de relativité.
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